我们先来看一道题目：

这题看似简单，却出现了3种答案！

解法一：

【资料图】

取定边为AB。要满足AC,BC长均<1，则点C需要在以A为圆心1为半径的圆内，且在B为圆心1为半径的圆内，由此可行域即图中的红色部分

要满足C为锐角，则还需满足C在以AB为直径的圆外，即深色部分

因此三角形为锐角三角形的概率就是深色部分面积/红色部分总面积

先求红色部分总面积：

如图，连接交点与两圆的圆心，构成等边三角形

于是

其中

于是

深红色部分面积=红色部分面积-浅红色部分面积(以AB为直径的圆的面积)

则概率

解法二：

设C所对边为1(最大的边)。取角A,B研究，要构成三角形，则需：

根据"大边对大角，小边对小角"，还需满足：

因此A,B满足约束：

以A为横轴，B为纵轴画出的可行域如下：

其由直线围成

要让三角形为锐角三角形，还需让最大角C为锐角，即

(即下图深色部分)

因此三角形为锐角三角形的概率就是深色部分面积/红色部分总面积

先求红色部分面积：

四边形顶点为

于是

再求深红色面积：

深红色面积=红色面积-浅红色面积

于是

则概率

解法三：

设最大边为c=1，取边a,b研究，要构成三角形，则需满足任意两边之和>第三边，即:

依题意还需满足

因此a,b满足约束：

以a为横轴，b为纵轴画出的可行域如下：

其由直线围成

要让三角形为锐角三角形，还需让最大角C为锐角，即

围成(即下图深色部分)

因此三角形为锐角三角形的概率就是深色部分面积/红色部分总面积

先求红色部分面积：

再求深红色面积：

深红色面积=正方形面积-1/4圆面积

于是

则概率

为什么会出现3种不同的答案？究竟哪种才是对的呢？难度概率学都是骗人的？数学大厦即将倒塌啦！(民科大乐)

其实思考这个问题是颇具价值的，因为这背后代表着概率论完善的一次重要转折。

高中时学过古典概型，如抛硬币，抛骰子。问“抛出正面的概率”“抛出6的概率”，相信幼儿园的小孩都能答对。那么这概率是怎么确定的呢？源于古典概率学派的核心思想：不充分理由原则。

原则概述：如果因为无知，使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现，那么应该给予它们相同的概率。比如：

硬币：由于不清楚硬币哪一面更容易出现，那么应该给予正面、反面相同的概率，即为；

骰子：我们不清楚骰子哪一面更容易出现，那么应该给予每一面相同的概率，即为

以不充分理由原则为基础，定义了古典概型(未知的概率皆为等概率)

由等概率为基的古典概型(离散型随机变量)进一步拓展到了几何概型(连续型随机变量)

整个19世纪的人们都广泛接受这个定义，并发展出了一系列的定义和定理。直到贝特朗悖论的出现。

ps:贝特朗悖论的典型例子是：在单位圆内任意作一条弦，求弦长的概率，放到后文再讲

我们先以上面的题目分析

不妨以解法二为例分析其他的两种情况

在解法二中，根据"等概率假设"，变量在该可行域内随机分布，那么事件和事件发生的概率是相等的，也就是下图绿色框框中的这两块面积相等

而事件和事件放到解法一的可行域中，则是下面的两块面积：

在这个可行域中，①②的面积是不相等的，即事件和事件发生的概率不相等

因此"变量(A,B)在解法二中的可行域随机分布"与"变量(x,y)在解法一中的可行域随机分布"是不等效的！

在解法三中，事件和事件发生的概率也不相等：

ps:desmos有点bug，方程一多就渲染不清

如图的绿色部分面积与蓝色部分面积不相等

因此"变量(A,B)在解法二中的可行域随机分布"与"变量(a,b)在解法三中的可行域随机分布"也是不等效的！

因此这3种假设两两不等效！

这也正是古典概率学派的不充分理由原则(等可能假设)导致的，对点变量(x,y)，还是对角变量(A,B)，抑或对边变量(a,b)运用不充分理由原则，同一个问题会得到不同的概率

这就愈发引起深思：需要对随机变量的衡量方式进行更明确的限制！

因此，如果要是解法一的答案，就需多加限制：点C在对应的可行域内随机分布；其余两种解法也要限制变量在对应可行域内随机分布。

因此贝特朗悖论反应的并不是概率学知识不自洽，而是题目对条件缺乏严格明确的限制而导致模棱两可。

对于这点典例：在单位圆内任意作一条弦，求弦长的概率？

那这就没法操作，这条弦究竟是怎么个任意法？是任意旋转么？是任意平移么？都没有说明，因此我们就无法确定随机变量的衡量方式，这个问题自然就无法解决。因为题目本身就存在问题(条件不够)

想要解决我们就必须对条件加以更明确的限制！于是乎，不同的限制方式就产生不同的结果

(1)

若将这条弦沿着一条直径上下平移，那么这条弦在线段AB上移动时就满足条件，就该以这条线段的长度为衡量标准，概率就是；

(2)

若固定这条弦的其中一端，绕着这个定点转动，可知当这条弦在范围内转动时就满足条件，这时就该以转动角度为衡量标准，概率就是；

(3)

若以弦的中点为参考，当弦心距时就满足条件，于是当弦中点在绿圆(半径为)内部运动的时候就满足条件，这时就该以中点所在区域的面积为衡量标准，概率就是。

ps:这个典题应该放最前面讲的，有这基础才能更好地引出前文的那道题目，没布局好懒得修改谋篇了()

同一问题有3种不同答案，这便是著名的贝特朗悖论。

在这以前人们都相信只要找到了适当的等概率，就可以得到问题的唯一解。直到该悖论的出现，人们才开始反思古典概率的不合理之处：“等概率”的描述实在是太模糊了，存在歧义。

这所谓的悖论其实并不悖，产生的原因正是题目没有指定随机对象的运动方式，这是一道缺少条件的模棱两可的错题。

打个比方，我们要统计某学校中数学成绩大于90分的学生所占比例，这是古典概型。但这没法操作，因为这里的随机变量是不明确的，是期中考试成绩？期末考试成绩？还是平均成绩？都没有讲清楚。如果非去统计，那么不同的人就会有不同的选择(选择不同的衡量标准)，那么得出的结果自然也就不同。

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